稱重信號(hào)的抽樣和處理

 中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院 周祖濂

【摘 要】本文主要根據(jù)數(shù)字信號(hào)處理原理，介紹抽樣定理，不確定性原理、在動(dòng)態(tài)稱
重信號(hào)處理中的重要性和不可違背性。
【關(guān)鍵字】抽樣定理、不確定性原理、動(dòng)態(tài)稱重、空間頻率

一、前言
     不少初接觸稱重儀表的人，找我詢問(wèn)稱重信號(hào)應(yīng)如何抽樣，特別是對(duì)動(dòng)態(tài)儀表，抽樣速
率、抽樣次數(shù)應(yīng)如何決定？抽樣后的數(shù)據(jù)如何處理（濾波）？《衡器》雜志也常有文章介紹
如何處理稱重信號(hào)，但大多數(shù)文章均未有介紹信號(hào)抽樣的基本原則和稱重信號(hào)中動(dòng)態(tài)信號(hào)的
基本特征和常用的處理方法。
作者打算分兩篇文章介紹稱重信號(hào)的抽樣和處理的基本原則和方法。篇介紹信號(hào)抽
樣的基本原理和動(dòng)態(tài)稱重信號(hào)的基本特征。第二篇介紹動(dòng)態(tài)稱重信號(hào)的基本處理方法，介紹
作者收集到的一些資料中的實(shí)例，供有興趣的讀者參考。
文中盡量避免數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。需要深入了解的讀者可自行閱讀有關(guān)數(shù)字濾波和數(shù)字信
號(hào)處理的有關(guān)資料。但讀者需具有付利葉變換（Fourier transforms）以及高等數(shù)學(xué)的基本概
念和知識(shí)。
       處理動(dòng)態(tài)稱重信號(hào)，是為了求得被稱物在靜止?fàn)顟B(tài)下的重量。原則上是要消除由于物體
運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的干擾力，所以均是使用低通濾波器來(lái)濾除這些干擾信號(hào)，以獲得物體的靜止重
量。
二、抽樣
     抽樣是將連續(xù)信號(hào)離散化的過(guò)程，它僅抽取連續(xù)信號(hào)波形某些時(shí)刻的樣值。抽樣分為均
勻抽樣和非均勻抽樣。在大多數(shù)情況下都是均勻抽樣，本文也只討論均勻抽樣的情況。
付利葉變換在建立連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)間的起著重要的作用。由連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的觀
點(diǎn)，均勻抽樣可視為一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程。調(diào)制信號(hào)為連續(xù)的模擬號(hào)，載波信號(hào)為一串固期為
T，脈寬為 τ 的矩形脈沖信號(hào)。顯然，τ 越小，抽樣輸出脈沖的幅度就越準(zhǔn)確地反映了輸入，
即被抽樣信號(hào)在離散抽取時(shí)刻的瞬時(shí)值。當(dāng)τ 趨于零時(shí)窄脈脈沖序列就變成了單位沖激函數(shù)
序列，稱為抽樣函數(shù)。我們稱這種抽樣為理想抽樣。其抽樣函數(shù)由下式表示：
∑
+∞
∞
−=-t ）（）（ nT tP δ （2-1）
函數(shù)（ nT −t ） δ 只有在t=nT 時(shí)不為零。所以它的時(shí)域表現(xiàn)為一串間隔為 T 的單位脈沖。
這樣的脈沖串，即抽樣函數(shù)的付利葉變換，即它的頻率為
T
fP）（ （2-2）
即幅度為
T
1 ，頻率間隔為
T
1 的一系列線狀譜線。用它來(lái)調(diào)制或抽樣一個(gè)模擬信號(hào)X（t ），
則：
  — 1 —
 
= =⋅= X tXtP??
即變?yōu)榉禐殡S抽樣信號(hào)幅值變化的脈沖串。
然而，在實(shí)際情況下，抽樣信號(hào)為矩形窄脈沖串，脈沖幅值為A，脈寬為 τ，周期為 T。
這樣非理想抽樣的表示式為：
Ω
π2
=Ω ，T 為抽樣周期

式中
T
d
τ
= 稱為占空比。
此時(shí)，非理想抽樣的頻域圖形或頻譜，不再是線狀譜，而是有一定頻寬的頻譜，其主頻
的寬度為1/ τ。與理想抽樣時(shí)一樣，同樣為以 1/T 為周期的頻譜，且幅值 Cn的包絡(luò)隨頻率增
高而很緩慢下降（圖1 ）。

圖1

與模擬系統(tǒng)的抽樣不同，在數(shù)字系統(tǒng)中，抽樣信號(hào)需經(jīng)過(guò)A/D 轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)。用一
些幅度不連續(xù)的數(shù)值來(lái)逼近模擬信號(hào)的值。它與值之間的誤差就是由不連續(xù)的量化
過(guò)程產(chǎn)生的。通過(guò)經(jīng)A/D 轉(zhuǎn)換后，模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢拮珠L(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)。
由于量化是將連續(xù)量轉(zhuǎn)化為非連續(xù)量，由此必然產(chǎn)生誤差。對(duì)于量化的處理又有截尾和
舍入兩種方法。其截尾化誤差為 [ ] 0q-≤ < e ；舍入量化誤差為 []
   e ≤< 。其中 q 為A/D
轉(zhuǎn)換的位量化值， ，n 為A/D 轉(zhuǎn)換的階數(shù)。由于對(duì)信號(hào)的量化過(guò)程是對(duì)整個(gè)序
列的統(tǒng)計(jì)估計(jì)，而不是針對(duì)某一個(gè)抽樣的量化誤差。所以還必須知道量化誤差的統(tǒng)計(jì)值。即
量化噪聲的方均根值，
-n
2 = q
32eq = 。量化誤差的大小，對(duì)我們確定A/D 轉(zhuǎn)換器的階數(shù)，數(shù)
  — 2 —
 
字濾波器設(shè)計(jì)和計(jì)算數(shù)據(jù)所需的字長(zhǎng)都有直接的關(guān)系。
在我們使用 DA/-Δ Σ 轉(zhuǎn)換器時(shí)，由于 Δ Σ - 調(diào)制是根據(jù)所謂的“ 增量調(diào)制” 進(jìn)行量化編
碼。當(dāng)輸入模擬信號(hào)變化極快，即信號(hào)的斜率變化很陡，大于譯碼用積分器輸出信號(hào)的上升
或下降的斜率，即譯碼器的跟蹤斜率。由此會(huì)產(chǎn)生所謂的“過(guò)載量化失真” 。設(shè)輸入一正
弦信號(hào)，頻率為f，幅值為A，抽樣頻率為f
s
. 。由于
ftAx π2sint=??
則它的變化斜率為：
ftcooAdtdx π π 22t⋅ = ??
其斜率為 Afπ2 。因此，欲使增量調(diào)制編碼時(shí)不產(chǎn)生失真，必須滿足下關(guān)系。
Affq
s
π2 ≥ ⋅ （2-4）
由此表明，對(duì)于變化極快的信號(hào)，即使幅度很小也會(huì)產(chǎn)生過(guò)載量失真。為了克服這種影
響，現(xiàn)今的 調(diào)制器前端增加了積分器，使得整個(gè)系統(tǒng)的過(guò)載特性與頻率無(wú)關(guān)。 ΔΣ-三、抽樣定理
抽樣定理是1948 年香農(nóng)（Shannon）給出的，它是數(shù)字信號(hào)處理中的一個(gè)重要定理。
定理敘述如下：
設(shè)x（t）的付利葉變換為 ，且 ）（ΩΧj ）（Ω Χ j 是帶限的，其頻率為 ，即 時(shí)，
=0，如果
h
π 。這里 T 為抽樣周期，
s
Ω 為抽樣角度頻率， ）1（2T
 
其中 又稱之為“乃奎斯特” （Nygnist）頻率。
   以上定理說(shuō)明兩個(gè)重要的概念：
當(dāng)抽樣頻率大于或等于連續(xù)信號(hào)（ ） t x 的頻率的兩倍以上時(shí)，所得到離散信號(hào)
，已包含了 （nT X ） （ ） t x 的全部信息，根據(jù)（3-1）式就能由 （ ） nT X 將（ ） t x 恢復(fù)出來(lái)。即已知
，即可把抽樣點(diǎn)間的函數(shù)“補(bǔ)上” ，恢復(fù)為連續(xù)函數(shù)。 （nT X ）
從另一個(gè)方面看，若抽樣頻率小于奎斯特頻率，即小于被抽樣信號(hào)頻率的兩倍時(shí)，
nsf 2f< （3-1）
被抽樣信號(hào)間將發(fā)生頻譜重疊，出現(xiàn)“ 混疊現(xiàn)象” （Aliasing）這是很容易理解的。在理
想抽樣時(shí)，時(shí)域信號(hào)，變?yōu)轭l率間隔為 1/T 的單位沖擊頻率。若此時(shí)被抽樣信號(hào)的頻率
為 ，則抽樣的頻率信號(hào)為以
= 為中心，頻譜寬度為
s
f ? ，頻率間隔為
1
= 的
頻域信號(hào)。因此，當(dāng) 時(shí)，相鄰抽樣頻率間的將發(fā)生重疊，這些重疊部分的幅值將與
hsf 2f<
  — 3 —
 
原始情況不同，這樣的頻域信號(hào)不再可能通過(guò)逆付利葉變換恢復(fù)成原來(lái)的信號(hào)（圖2 ）。通
常也將乃奎斯特頻率稱為“折疊頻率” （Folding freqnency）。


圖2

四、不確定性原理
不確定性原理表明一個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)在時(shí)域和頻域具有任意小的分辨。
例如在時(shí)域，我們?yōu)榱耸钩闃犹幏当M量逼近該處的“真值” 。抽樣脈沖的寬度就要求很
窄，才能不受模擬信號(hào)變化的影響。我們知道抽樣脈沖越窄，表明這樣的函數(shù)在時(shí)域的變化
越劇烈，因此與它相應(yīng)的付利葉變換中包含的頻率分量就越廣泛。這樣它在任意頻率處的分
辨就很大，即在頻域來(lái)識(shí)別它就需要很寬的頻率范圍。這種關(guān)系可表為：
f ≥Δ⋅Δ f
a α

式中 為f 在a 處的分辨， 為f 在α 處的分辨。這實(shí)際上是物理學(xué)中“測(cè)不準(zhǔn)原
理” 在時(shí)域和頻域中的表現(xiàn)。由于它是一個(gè)普遍的物理規(guī)律，針對(duì)不同的物理量，會(huì)有不同
的數(shù)學(xué)形式。我們用寬帶為 B 的濾波器，來(lái)測(cè)量一個(gè)隨抗噪聲，測(cè)量時(shí)間 T，則測(cè)量結(jié)果間
與精度間的關(guān)系為：
f

其中σ 為測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即測(cè)量誤差；m 為被測(cè)信號(hào)的平均值。這說(shuō)明為提高
測(cè)量低頻信號(hào)的精度，就必須增加測(cè)量時(shí)間。圖3 表示正弦波形經(jīng)過(guò)線性和 RC低通濾波器
的波形圖。觀察此圖形可看出以下結(jié)論。首先當(dāng)被濾波信號(hào)的頻率與濾波器的平均濾波時(shí)間
或下限頻率相近時(shí)，濾波的效果很差，第二只有當(dāng)濾波器的濾波時(shí)間與被濾波信號(hào)的周期相
等時(shí)，才能*濾除該與之對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)（正弦信號(hào)），即是說(shuō)在抽樣后的波形不是周期
的整數(shù)倍，對(duì)此期間的波形的積分平均值不為零，對(duì)欲求得直流信號(hào)，即靜態(tài)的重量信號(hào)構(gòu)
成誤差。第三，在不增大抽樣時(shí)間，欲通過(guò)增加抽樣的次數(shù)來(lái)提高對(duì)干擾信號(hào)的濾除是沒有
效果的。
  — 4 —
 

圖3
五、動(dòng)態(tài)稱重信號(hào)的特點(diǎn)
本文討論的動(dòng)態(tài)稱重信號(hào)主要是包括，動(dòng)態(tài)軌道衡、動(dòng)態(tài)汽車衡、檢驗(yàn)秤和皮帶秤的稱
重信號(hào)。這類被稱物在稱重過(guò)程中均是相對(duì)衡器的承載器有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。除皮帶秤外的三種動(dòng)
態(tài)衡器的稱重信號(hào)非常相近。現(xiàn)以動(dòng)態(tài)軌道衡的稱重信號(hào)為例進(jìn)行討論。
軌道的不平順是使機(jī)車車輛產(chǎn)生振動(dòng)的主要根源。這些干擾振動(dòng)構(gòu)成稱重信號(hào)中附加干
擾力。只有將其濾除才有可能測(cè)得車輛的靜止重量。由于軌道不平順是隨機(jī)變化的，它所引
起的干擾振動(dòng)過(guò)程也是隨機(jī)的。所以動(dòng)態(tài)稱重與靜態(tài)稱重在物理機(jī)理上不同的。動(dòng)態(tài)稱重信
號(hào)的處理是建立在隨機(jī)信號(hào)過(guò)程的基礎(chǔ)上。對(duì)其測(cè)量結(jié)果的處理應(yīng)服從于數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論
的規(guī)律。對(duì)車輛由于地面所引起的振動(dòng)的描述，由于地面不平直的影響不是隨時(shí)間變化而是
距離的函數(shù)，為此采用“ 空間頻率” ，f=1/ λ（1/m）來(lái)代替頻譜分析中的時(shí)間頻率f=1/T（1/s 或
HZ）

來(lái)表示軌道不平順的干擾函數(shù)，即功率譜密度（圖 4 ）。注意此時(shí)的橫坐標(biāo)不再以“秒或
HZ” 為單位，而是以“1/米或1/m” 為單位。而且在幅值相同的情況下，短“空間波長(zhǎng)” 引起的
振動(dòng)加速度比長(zhǎng)波引起的要大得多。例如波長(zhǎng)為1 米時(shí)引起的加速度比波長(zhǎng)為10米時(shí)所引
起的加速度要大100 倍。干擾頻譜激勵(lì)機(jī)車的頻譜示如圖 5 ，機(jī)車的主要自振頻頻在 2HZ
左右，且隨車速增快其幅值也增大。


圖4 圖5
  — 5 —
 
由此可引入一個(gè)對(duì)這類動(dòng)態(tài)稱重所*概念—“時(shí)空概念” 。因?yàn)樵诖朔N情況下，被稱物
與稱重承載器之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。同樣一個(gè)頻率的干擾驅(qū)動(dòng)，由于被稱物相對(duì)于承載器的運(yùn)動(dòng)
速度不同，我們需要采集這個(gè)干擾振動(dòng)的時(shí)間也就不同。在經(jīng)典濾波理論中，若不能完整的
采集到一個(gè)正弦波，要將其*濾除或降低它的干擾程度是不可能的，在上一節(jié)的“不確定
原理” 中已做了詳細(xì)的解讀。例如附圖 4 中，由于車輛自振產(chǎn)生 2HZ 的干擾頻率，對(duì)于不同
運(yùn)行速度的車輛，在相同的抽樣期間T 時(shí)，車輛行駛的距離也大不相同，為了能采集所需
的干擾信號(hào)的波形，就需要有不同“長(zhǎng)度” 的承載器。假設(shè)此時(shí)低通濾波器的截止頻率設(shè)定為
1HZ ，即B=1HZ。為了能收集到兩個(gè)以上的完整干擾波形，抽樣時(shí)間至少大于1 秒。下面
給出在1 秒內(nèi)，不同速度下車輛所運(yùn)行的距離。
300km/h=83.3m/s；100km/h=27.8m/s；60km/h=16.7m/s ；30km/h=8.3m/s；10km/h=2.8m/s
所以，對(duì)于高速行駛的列車，若使用經(jīng)典的濾波方法來(lái)處理稱重信號(hào)，就需要有足夠長(zhǎng)
的“稱量段” 。例如，早先德國(guó)為了測(cè)量時(shí)速為 100km 左右的車輛，其“稱量段” 的長(zhǎng)度在11m
左右。
下面給出上世紀(jì)九十年代，德國(guó)對(duì)不同稱重長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果，車速為60km/h，空間頻
率為2.5到20m ，整個(gè)稱重長(zhǎng)度為M=16.6m ，稱重長(zhǎng)度是由一些中距為x Δ 的稱重段組成，
結(jié)果如圖6 所示。所以試圖用較短的承載器測(cè)定快速行駛的機(jī)車或汽車欲得到高的測(cè)量精度
是不太可能的。特別是為行車安全，測(cè)定機(jī)車的偏載，要是稱量段不夠長(zhǎng)，很難發(fā)現(xiàn)1 或
2HZ 干擾帶來(lái)的影響，此時(shí)雖然產(chǎn)生的干擾力可能不算大，但是由此引起的干擾振幅要比
高頻率在相同干擾力下的振幅要大很多，對(duì)機(jī)車的安全可能產(chǎn)生危害。


圖6

六、結(jié)束語(yǔ)
     本文主要想提醒讀者注意，在研究工作中對(duì)事物的基本規(guī)律是不能違背的。否則不但事
倍功半，而且找不到解決問(wèn)題的原因。特別是一些初參加工作的學(xué)生，往往注重技巧，而忽
視基礎(chǔ)知識(shí)。正如無(wú)論設(shè)計(jì)多巧妙，也不可能設(shè)計(jì)出永動(dòng)機(jī)。另外對(duì)研究的對(duì)象要有深入的
了解，對(duì)運(yùn)動(dòng)車輛信號(hào)的特征，如頻譜圖，持續(xù)時(shí)間，盲目使用濾波器是不可取的。后指
出，對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)結(jié)果，在試驗(yàn)時(shí)用誤差分布的直方圖來(lái)表示，這樣有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，改
進(jìn)設(shè)計(jì)。